calculo diferencial

 Historia del cálculo

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra, la aritmética y la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.

 Newton y Leibniz son considerados como los principales arquitectos del cálculo, sin embargo los resultados alcanzados por estos dos  matemáticos fueron el resultado de las contribuciones de  Barrow,  Fermat, Torricelli, Cavalieri,  Galileo, y otros muchos matemáticos que hicieron grandes aportaciones,  y sin estas, el cálculo  de Newton y Leibniz sería impensable

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

En lo que concierne a las derivadas, existen dos conceptos geométricos que le dieron origen:

Siglo XVII

Los matemáticos perdieron el “miedo” que los antiguos griegos le habían tenido a los infinitos: Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, y comenzaron a abrir el camino que medio siglo después culminaría en el descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculo de tangentes, áreas, volúmenes; Los primeros darían origen al cálculo diferencial y los otros al Cálculo Integral.

Newton y Leibniz

Estos dos personajes, a fines del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos los métodos usados por sus predecesores: lo que hoy llamamos derivadas e integrales.

Desarrollaron, además, reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación), y mostraron que ambos conceptos eran operaciones inversas (como la suma y la resta, la multiplicación y la división, etcétera), lo cual es la esencia del Teorema Fundamental del Cálculo

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Isaac Newton

N. en 1642 en Woolsthorpe, Inglaterra.

M. en 1727 en Cambridge, Inglaterra.

Desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto con Fermat.

A fines de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de “Fluxión”, que para él era la velocidad con la que una variable “fluye” (varía) con el tiempo.

Gottfried Wilhelm Leibniz

N. en 1646 en Leipzig, Alemania.

M. en 1716 en Hannover, Alemania.

Descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675.

Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes.

En su investigación conservó un carácter geométrico y, -diferenciándose de Newton- trató a la derivada como un cociente de incremental y no como una velocidad.

Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se le deben los nombres de: Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, así como los símbolos  y el de, para la derivada y la integral, respectivamente, que en la actualidad conservan vigencia y uso.

Fue el primero en usar el término “Función” y el uso de símbolo  para la igualdad.

Entonces… ¿quién descubrió el Cálculo?

Los dos descubrimientos fueron independientes y siguieron vías muy distintas, tanto conceptual como metodológicamente.

Newton fuel el primero en descubrir y desarrollar el método de fluxiones entre 1666 y 1669, año en que escribió el manuscrito De Análisis, pero su fobia a publicar le hizo dilatar la divulgación del mismo hasta 1704.

Leibniz descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo  diferencial en 1675. Su primera publicación sobre el tema fue en 1684 – seis años antes que lo hiciera Newton-.Los hermanos suizos Jacques y Jacobo Bernoulli, contribuyeron enormemente al desarrollo del cálculo creado por Leibniz.

Comunicándose con él mediante el correo, formaron casi todo lo que hoy conocemos del cálculo diferencial.

Marqués de L´Hopital

Contrató a Bernoulli para que le explicara los nuevos descubrimientos acerca del cálculo diferencial.

Al dominar esta rama, en 1696, L´Hopital publicó el primer libro de esta materia, dando escuetísimo reconocimiento a Bernoulli. Este texto adquirió mayor celebridad por el resultado más importante que en él aparece: “La regla de L´Hopital”.

La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta, y al principio, sus aplicaciones fueron escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, pues la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.

Del siglo XIX hasta nuestros días.

Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades de en los fundamentos del cálculo diferencial se solucionaron, y hoy, aquél cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los profundos hallazgos del razonamiento y como la más portentosa herramienta matemática.

Pierre de Fermat

Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat.

También conocida como espiral parabólica, es una curva es un caso particular de la espiral de Arquímedes

Isaac Barrow.

 Fue un matemático y teólogo inglés. Sus trabajos son fundamento del cálculo infinitesimal. Enunció la relación recíproca entre la diferencial y la integral, y editó diversas obras de antiguos matemáticos.

Desarrolló un método para determinar tangentes con un enfoque que se aproximaba a los métodos del cálculo. Fue el primero en descubrir que los procesos de derivación e integración podían considerarse Como operaciones inversas entre sí.

El cálculo diferencial se aplica en nuestra vida cotidiana desde describir el ritmo en que se mueve un objeto, que tanto dinero genera una cuenta de ahorros, la velocidad a la que crece o disminuye una población, la velocidad a la que se enfría o se caliente un objeto.